La matematica è la filosofia delle filosofie?

Chi definiva la matematica come la filosofia delle filosofie era il mio severissimo professore di Matematica e Fisica del Liceo. Con queste parole intendeva dire che la matematica è talmente importante che la sua conoscenza sovrasta tutte le altre essendo ad esse propedeutica.

A noi studenti ciò sembrava una evidente esagerazione ma se si voleva semplicemente dire che chi è bravo in matematica spesso è bravo anche nelle altre materie, come una volta ci specificò il nostro professore, si può anche essere d'accordo senza, però, che questo fatto implichi una superiorità della matematica sulle altre materie.

E' evidente che chi ha una mente matematica è abituato ad affrontare i problemi ordinandoli ed esaminandoli attentamente e che, per aver un buon risultato nelle interrogazioni di matematica, occorre avere anche un buona memoria vista la grande quantità di teoremi e dimostrazioni da ricordare per cui è facile che costui ottenga buoni risultati anche nelle altre materie.

Del resto anche il buon giocatore di scacchi deve essere un tipo attento e ragionatore per cui spesso chi è bravo a giocare a scacchi riesce bene anche negli studi ma ciò non significa automaticamente che sia più intelligente di chi non riesca a raggiungere la concentrazione necessaria per essere un campione in questo gioco.

Se invece si vuol vedere la matematica come una materia dotata di una superiorità morale sulle altre ed indispensabile a qualunque studio per ottenere l'etichetta di scientifico, si erra grandemente ma purtroppo, al giorno d'oggi, anche importanti scienziati si rifiutano di affrontare qualunque studio o teoria che non abbia una solida base matematica.

Invece esistono importanti materie, anche scientifiche, per le quali la matematica, pur se importante, non è affatto indispensabile ed una di queste è proprio una materia molto vicina alla matematica e molto spesso insegnata dagli stessi professori: la geometria.

La geometria è nata prima che la matematica venisse codificata e della matematica non ha avuto bisogno. Si possono disegnare moltissime figure geometriche e confrontarle tra loro usando solo un compasso ed una riga senza alcuna tacca che indichi le varie misure e si possono dimostrare i teoremi della geometria euclidea col confrontare angoli e superfici senza mai utilizzare il concetto di misura.

Quando lavoravo all'Arpa dell'Emilia-Romagna i nostri laboratori di analisi furono posti in qualità secondo le norme ISO 9001 e ISO/IEC 17025. Una delle prime cose da controllare fu che tutte le misure delle analisi effettuate riportassero sempre anche la percentuale di errore della misura stessa e (cosa curiosa) ciò valeva anche per quelle analisi la cui risposta era un sì od un no.

Tutto ciò mi ha dato l'idea di definire il corpo dei numeri elastici come l'insieme del corpo dei numeri razionali relativi e di un numero relativo predefinito (ovviamente cambiando il numero relativo predefinito ottengo un nuovo e diverso corpo dei numeri elastici per cui esistono infiniti corpi dei numeri elastici).

Un singolo numero elastico è quindi definito da una coppia di numeri razionali relativi, il secondo dei quali (definito percentuale) è il medesimo per tutti numeri appartenenti allo stesso corpo dei numeri elastici. Dati quindi due numero elastici ε = (A, P) e ζ = (B, P) si dirà che sono uguali e si scriverà ε = ζ quando l'intersezione degli insiemi di numeri razionali relativi (A - A * P / 100, ..., A, ..., A + A * P / 100) e (B - B * P / 100, ..., B, ..., B + B * P / 100) non è l'insieme vuoto.

Per definire i numeri concreti invece ho pensato che, quando noi misuriamo qualcosa, operiamo già un adeguamento ad una misura minima. Ad esempio se devo dire la distanza fra Roma e Berlino non starò certo a considerare i millimetri come invece dobbiamo fare quando ci stiamo occupando di un disegno tecnico.

Un singolo numero concreto è quindi definito da una coppia di numeri razionali relativi, il secondo dei quali (definito misura minima) è il medesimo per tutti numeri appartenenti allo stesso corpo dei numeri concreti. Dati quindi due numeri concreti κ = (A, M) e λ = (B, M) si dirà che sono uguali e si scriverà κ = λ quando l'intersezione degli insiemi di numeri razionali relativi (A - M/2, ..., A, ..., A + M/2) e (B - M/2, ..., B, ..., B + M/2) non è l'insieme vuoto.

Qualcuno potrebbe obiettare che lo Zwirner storcerebbe alquanto il naso di fronte a tali definizioni dato che, per poter chiamare numero un certo ente, si devono poter definire per esso le quattro operazioni fondamentali in modo che valgano le consuete proprietà formali ma penso che sia possibile, con appropriate definizioni, ottenere ciò anche se ora non lo faccio essendo inutile, ai fini del mio discorso, presentare una compiuta teoria matematica.

Del resto è evidente che nella realtà si può sempre trovare un sottomultiplo del lato che sia contenuto un numero intero di volte nell'ipotenusa di un quadrato dato che ad un certo punto le differenze fra i due sottomultipli diventano non più misurabili e quindi del tutto trascurabili.

La dimostrazione dell'incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al lato si basa sul fatto che, esaminando il triangolo rettangolo formato da due lati del quadrato e dalla sua diagonale, si vede che il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma di quelli costruiti sui cateti e quindi, essendo i cateti uguali fra loro, occorrerebbe trovare un numero razionale che moltiplicato per se stesso dia due ma un tale numero non esiste.

Invece, usando i numeri elastici si vede subito che, in base alla definizione di numero elastico, (1414/1000, 1) moltiplicato per se stesso è uguale a (2, 1) mentre per i numeri concreti è sufficiente far notare che, in base alla definizione di numero concreto, M è sottomultiplo di qualunque numero concreto.

Per quanto riguarda la quadratura del cerchio già gli antichi egizi la ottenevano dividendo il diametro del cerchio in nove parti e costruendo un quadrato col lato composto di otto parti. In realtà, con i nostri conteggi moderni, le due aree non sono uguali ma dato che la differenza è veramente minima, lo diventano usando i numeri elastici od i numeri concreti.

Del resto dato che la geometria, come dice il nome, è nata per misurare la terra, ai fini pratici, un terreno tondo con diametro di nove ha la stessa area di uno quadrato con lato di otto dato che la differenza fra i due è del tutto trascurabile: chi acquista una casa valuta la sua superficie in metri quadri e non in millimetri o in nanometri quadri e due case di 100 mq hanno la stessa superficie anche quando, nella realtà, una delle due avesse qualche centimetro quadro in più (cosa, per altro, della quale nessuno si accorgerebbe mai).

Concludo dicendo che, quanto io riporto, in realtà, viene già insegnato ad Ingegneria nell'esame definito Metodi di misura ed osservazione dove ci si pone il problema dell'ineliminabile errore nelle misure legato alla sensibilità dello strumento e come poi ciò si propaghi sui susseguenti conteggi ma ciò viene visto appunto come un errore e non si è pensato a definire una matematica con numeri adeguati a rappresentare meglio i vari casi reali.